世界在我脚下

第一题

这是建立等式和不等式性质的极好例子。正如上面的故事所表明的，那个老板觉得把两种唱片放在一起，每5张卖两块钱，和分开来一种卖两张一块钱，一种卖3张一块钱是“同样的”，这就搞错了。没有任何道理能说明两种卖法应该收入同样的钱数。上面的例子中两者之间的差很小，以致于看上去好像那一块钱是不留意造成的，或者是遗失了。

我们假设价格较高的唱片是每张卖b/a元，价格较低的唱片每张卖d/c元。假若所有唱片都各以两种不同的价格卖，则一张唱片的平均价格是b/a和d/c之和的一半。如果两种唱片合起来，按一个价格卖，那么。a+c张唱片就卖b+d元钱，一张唱片的平均价格就是(b+d)/(a+c)。显然，两套唱片合起来要收入同样多的钱数就必须是

（b/a+d/c）/2=(b+d)/(a+c)

这个等式只有在a=c时成立，而与b和d的值无关。如a>c，则两套唱片合起来交可得的钱多一些，如果a<c，则合起来卖就要赔钱。

这个例子告诉我们，当看到不同种类的货物联合销售时，要判断我们是否真的买到了便宜货并不是一件轻而易举的事。 

第二题

诚如C君所言: “我的理解，第一次选，选中车的概率是1/3，而主持人排除了一扇门后，剩下的一扇门是车的概率变为1/2，所以要改变主意。”C君的结论是真确的，但是不是概率从1/3提升到了1/2，增长了16.7%的可能性呢？

先前的概率1/3和之后的1/2是对于两个独立的事件而言，并不能做简单的比较，我们要做的就是把后一种的概率换算成前一个事件中的概率。要是我们一开始便选中了有车的门，那我们改变选择的话就会选到羊，这个的发生概率是1/；如果我们开始选中的有羊的门，那经过主持人排除另一个有羊的门，只要改变选择我们一定会得到车，概率是2/3。所以我们改变主意的话，中奖的可能性提高了一倍。

有人会提问：“在主持人排除一个不是的选项后，要是不该变注意，中奖的概率不也是1/2吗？” 请注意，在我们选出了一个门之后，肯定有一个剩余的门后是羊。由于主持人知道羊在哪一个门后面，他就总能打开一个有羊的门。因此，他这样做对于我们修改自己挑到正确门的概率没有增添任何有用的信息，还是1/3。 

第三题

理解这个问题的关键是橡皮绳的伸长是均匀的。这意味着蠕虫随着拉伸也向前挪了。

1公里有100,000厘米，所以在第一秒末，蠕虫爬行了橡皮绳长度的1/100000，在第二秒钟内，蠕虫又在长度为2公里的橡皮绳上爬了它的1/200000，在第三秒内，它又爬了3公里长的皮筋的1/300000如此继续，蠕虫的进程表示为整条橡皮绳的分数就是：

1/100000（1+1/2+1/3+1/4……）

括弧里的级数是人们熟悉的调和级数。由于这个级数是发散的，它的部分和我们要它有多大，就可以有多大。只要这个和超过100,000，上面的表达式就超过1。这就是说，蠕虫已经到达终点。此时调和级数该部分和的项数n就是蠕虫爬行的秒数．也是皮筋最后长度的公里数。

n的值近似等于e¹⁰⁰⁰⁰⁰

结果证明，橡皮绳其长无比，比已知的宇宙直径还长得多，同时蠕虫要爬到终点的时间也无比漫长，它比已知的宇宙年龄还要远久得多。自然，这个问题说的是一条理想的蠕虫，它可以表示为在一条理想的橡皮绳上的一个点。若是条真的蠕虫，那末在还没有怎么开始这段旅程就早已死了，同时，若也是真的橡皮绳则需把它拉得细到它只能由分隔的分子连成这样难以想象的程度。 

第四题

一个人的生日是一年中某一天的概率是1/365，那么另外一个人的生日要是不和他相同的概率是(1-1/365),为364/365。第三人要和他俩不是一天生日的概率是363/365……以此类推，第N个人要和之前所有的人不是一天的生日概率是365-N+1/365。所以，求解至少多少人在一起生日是同一天的概率大于1/2的话就是求解：

1-364/365*363/365……(365-N+1)/354>=1/2中N的最小值，答案是23，很令人吃惊吧。如果你们班的同学有40人，那么至少有两人生日一样的概率是7/10，如果人数增长到100人，那几乎100%会有两人是同生缘了。

第五题

C君的答案是对的。关键是同样可能的情况有三种，而不是两种。抽出的卡片可能是小圈—黑点，或者是A面向上的小圈—小圈，也可能是B面向上的小圈—小圈。底面与上面一致的情况有两种。因此，在玩了多次以后，庄家就会是大约三回里赢两回。 

第六题

很容易表明，如果我们做出一个明确的假定来准确地限定条件，它就是一个公正的比赛。当然，如果我们已经得知比赛中的一个人总爱带较少的钱，那么我们就知道这个比赛是不公平的。如果无法得到这类消息，我们就可以假定每一个比赛者带有从0到任意数量（比如说一百元）的随便多少钱。如果我们按此假定构成一个两人钱数的矩阵（这是克莱特契克在他的书中列出的），我们就可看出这个此赛是“对称的”，不会偏向任何一个比赛者。

可惜，这不可能告诉我们上面两个比赛者的想法错在哪里。我们没有找到一种方法能够以此较简单的方式澄清这个问题。克莱特契克也没能做到，就我们所知，对这个比赛没有其他参考材料了。

不过要是谁要和我玩这个游戏我很欢迎。

 说到底俺干嘛要写这些东西啊！

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